Physical Process Modeling BG

 

Топлопренасяне чрез лъчение

 

Лъчение – предаване на топлина в невидимата (инфрачервена) и видимата част на спектъра. Излъчването на топлинна енергия е под формата на електромагнитни вълни с дължина на вълната от 0,4 – 400 mм

 

 

 

Лъчист топлообмен

 

 

Т1, Т2 – абсолютни температури на двете повърхности.

Тм – междинна температура

Rl1, Rl2 – топлинни съпротивления на двете повърхности.

e1 e2 – коефициенти на чернота на двете повърхности

S1, S2площи

 

Топлопренасянето чрез лъчение в строгия смисъл на това понятие не е топлинно, а електромагнитно пренасяне. В източника топлинната енергия се преобразува в електромагнитна, която се пренася до приемника, където отново се превръща в топлинна. Поради това пренасяният лъчист поток не е нито “топъл”, нито “студен”, т.е. не е топлинен “поток”. Законите, на които се подчинява лъчистото топлопренасяне, са много различни от законите за топлопренасяне чрез конвекция и топлопровеждане.

Векторът на лъчение определя посоката на пренос на лъчистото топлопренасяне в мястото на най-интензивен топлообмен в полето. Числено е равен на потока на резултантно излъчване, пренесен за единица време през единица повърхност, ортогонален на произволно направление на пренос на лъчение.

 

Елементарният поток преминаващ през площадката dF, се изразява чрез скаларно произведение  на вектора на лъчение  на

 

 

qn – проекция на вектора на лъчение на нормалата към повърхността.

 

Потокът на лъчение, падащ на площадката dF под ъгъл y1<p и dQpd1=Epd1dF има положителен знак, а под ъгъл y1>p и dQpd2 има отрицателен знак. През площадката dF преминава поток равен на резултантния:

 

 

За намирането на потока на резултантното лъчение при отчитане на cosy1= – cosy2:

 


 

Пълният поток на лъчение се съставя от съставляващите по трите координатни оси Оx, Оy, Оz, с което векторът може да се определи като интеграл от интензивността на лъчение по сферични ъгли:

 


 

Последната зависимост представлява интегрална форма на вектора на лъчение, като освен нея може да бъде изразена и градиендна форма. Последната се използва предимно в случаите на пренос на дискретни частици – фотони.

 


 

s0 – константа на Стефан – Болцман

 

Топлопренасяне чрез лъчение между успоредни стени.

Ако температурата T1 на стена 1 е по голяма от стена 2 налице е термичното напрежение qR = T1T2 = t1 - t2. Падащата върху тялото лъчиста енергия Q0 се дели на частично поглъщана (QA), частично отразена (QR) и частично преминаваща през тялото (QD):

 

А - оглъщаната енергия

R - отражателната способност на тялото

D - способността на тялото да пропуска лъчистия поток

 

При A = D = 0 и R = 1, тялото напълно отразява топлинните лъчи, т.е това е абсолютно бяло тяло. За абсолютно черните тела, поглъщащи напълно топлинната енергия е известно: R = D = 0 и A = 1. При реалните тела винаги A < 1 и R < 1. Спектралната плътност (или спектралната интензивност) за абсолютно черно тяло при дължина на вълната l (мм.) и температура Т (К) се описва със закона на Планк:

 


 

За константите C1 и C2: С1 = 3,74.10-16 [W.m2], С2 = 1,44.10-2 [m.K]. Пълната излъчена енергия от абсолютно черно тяло qs:

 


 

Равновесно (черно) се нарича лъчение, при което всички тела в дадена излъчваща система, имат еднаква температура, т.е намират се в термодинамично равновесие. Следователно топлинното лъчение има динамичен характер при който телата изпускат или поглъщат отделно количество топлина.

Съгласно закона на Планк на всяка дължина на вълната съответства определена стойност qls. Плътността на излъчвания поток се характеризира с отделни изотерми минаващи през максимум. При l ® 0 и l ® µ се стреми към нула

Законът на Планк има два гранични случая. Единият от тях се проявява когато произведението lТ е много по голямо от константата c2, при което може да се запише реда:

 


При пренебрегване на членовете от по-висок порядък се получава закона на Релей-Джинс:

 


 

Вторият граничен случай съответства на малка разлика между произведението lТ и c2. В този случай е в сила закона на Вин:

 


 

при производна приравнена на нула от последното уравнение се извежда:

 


 

lmax – дължина на вълната съответстваща на максимална плътност на лъчението. Последната зависимост изразява закона на смесване на Вин.

Максималната плътност на потока на лъчение от черно тяло може да се намери от закона на Планк, като се положи l = lmax:

 


 

Законът на смесване на Вин, позволява да се запише закона на Планк в безразмерна форма:

 


 

 

Законът на Стефан – Болцман установява зависимостта между плътността на потока и температурата, като може да бъде получен от закона на Планк:

 


 

За удобство при практическите разчети се използват следните уравнения:

 


 

c0 = 5,6703 » 5,67 [W/(m2.K4)] – излъчвателна способност на абсолютно черно тяло

 


 

C12 се нарича коефициент на взаимно облъчване:

 


 

В последната формула e и a представляват коефициентите на абсолютното лъчеизпускане (лъчепоглъщане), за абсолютно черно тяло e = a = 1. Коефициент al представлява коефициента ла лъчисто топлопренасяне:

 


 

Общото лъчисто топлинно съпротивление Rl се състои от две преходни контактни съпротивления Rl1 и Rl2, изразени съответно при излизане на потока от източника и влизането му в приемника:

 


 

Законът на Стефан-Болцман, характеризиращ лъчист топлообмен във вакуум не зависи от координати и направление на вектора. Обемната плътност на излъчване се намира от:

 


 

Същият закон е приложим и за сиви тела. Отчита се факта, че при сивите тела, както и при черните, собственото лъчение е пропорционално на абсолютната температура на четвърта степен, но енергията на излъчване е по-малка от тази на черните тела при една и съща температура.

 

 

 

 

 

Плътност на потока на излъчване в зависимост от дължината на вълната

1-черно тяло; 2-сиво тяло; 3-селективно излъчване

 

За сиви тела закона придобива следният вид:

 


Законът на Кирхоф установява количествената връзка между енергията на излъчване и поглъщане, между повърхностите на сиво и абсолютно черно тяло. Този закон може да се получи от баланса на лъчистата енергия за излъчваща система, състояща се от относително голям затворен обем с топлоизолирани стени и поместени в него тела. За всяко от тези тела в установено термодинамично равновесие енергията на излъчване е равна на поглъщаната енергия:

 


 

Съгласно този закон, отношението на енергията на излъчване и енергията на поглъщане не зависи от природата на телата и е равно на енергията на излъчване на абсолютно черно тяло при същата температура.

Енергията, излъчена от тяло в определено направление се установява от закона на Ламберт съгласно който, потокът излъчен от абсолютно черно тяло е пропорционален на потока, излъчен в направление на нормалата към повърхността и косинуса на ъгъла между тях. 

 


 

Iy и In – плътности на потока на интегрално излъчване, съответно в направление определено от ъгъл y и в направление по нормалата към повърхността.

Законът на Ламберт изразява важно следствие, отнасящо се до яркостта на излъчване на абсолютно черно тяло:

 


 

Следователно ако лъчението е подчинено на закона на Ламберт, яркостта не зависи от направлението, т.е. явява се постоянна величина:

 

Ъгълът dw се дефинира като

 

 

dF–елементарна площадка, изразяваща телесния ъгъл на повърхността на сферата с радиус r. Тази площадка може да се представи от два елемента rdy и rsinydw, като с това:

 

 

След последните уравнения за плътността на потока на полусферично излъчване се получава:

 


Е – плътност на интегрално полусферично излъчване на абсолютно черно тяло, определено по закона на Стефан – Болцман, I – яркост на излъчване. В окончателна форма закона на косинусите или закона на направлението на Ламберт се получава:

 


 

Повърхностната плътност на собственото лъчение на произволно тяло се определя от:

 


 

Целта на разглежданите закони на топлопренасяне е да се изведат основните зависимости, по които се съставя математически модел на работа на електросъпротивителни пещи. Моделът е базиран на система диференциални уравнения, чието числено решение представя развитието на топлинната картина в преходния процес на установяване на температурата в пещта. Лъчението е основният вид топлопренасяне между нагревателя и нагряваното тяло в камерата на електросъпротивителната пещ, което определя ключова роля на коректното му описание. Уравнения, описващи процеса на топлопренасяне чрез лъчение в посоченият вид не са удобни за работа при използването на числени методи и реализацията им чрез математически софтуер. Причината за това е, че в началото на процеса за коефициента на лъчисто топлопренасяне a е възможно да се получи стойност която не може да бъде определена, което би довело до спиране на изчислителния процес. В случай, че температурите Т1 и Т2 се зададат по нула градуса, в знаменателя на израза се получава нула. С цел да се избегне деленето на нула се налагат някои преобразувания:

 

 

 

 

Частни случаи на топлопренасяне чрез лъчение.

 

Направения до тук анализ, описва процеса на топлопренасяне чрез лъчение между успоредни тела, който може да се разгледа като най-тривиалния в случая. Интерес представляват някои частни случаи, които намират приложение при съставянето на математическия модел на работа на електросъпротивителните пещи.

 

По-малката повърхност няма вдлъбнатости

По-малката повърхност има вдлъбнатости

Две паралелни стени размерите, на които са много по-големи в сравнение с разстоянието между тях

j12 = j21 = 1

 

 

Две паралелни стени и тяло между тях размерите, на което са много по-малки.

j12 = j21 = 1

j23 = j13 = 0

j31 = j32 = 0,5

Три повърхности, образуващи затворена система

Четири повърхности, образуващи затворена система

Две безкрайни паралелни плоски с еднаква ширина, а на разстояние една от друга

 

Два паралелни кръга с диаметри d1 и d2 с центри, разположени на една ос и разстояние h една от друга

при d1 º d2

 

Два еднакви правоъгълника (a X b) в паралелни плоскости на разстояние h един от друг

 

Два взаимни перпендикулярни правоъгълника с обща страна

Два паралелни цилиндъра с един диаметър d

 

Неограничена плоскост и едноредно разположени цилиндри

 

 

Екрани

 

 

При наличие на топлинен екран между две тела с различни температури, лъчистият поток между тях се променя в зависимост от броя на екраните, коефициента на лъчеизпускане, материалите на телата и площта на повърхнините.

 

 

Лъчист топлообмен през екран

 

 

Разположение на n – броя екрани

 

 

 

Те, Т’’е – температури от двете страни на екрана.

Тм, Т’’м – температури в пространството между екрана с всяка стена.

eе , e’’е – коефициенти на чернота от двете страни на екрана

S(F) – площи

 

 

Където С12, С23, ... С(n+1).(n+2) са приведените коефициенти на лъчение, S12, S23, ... S(n+1).(n+2) са приведените площи. Температурите на екраните се получават от уравненията:

 

 

 

При отчитане на коефициента на топлопоглъщане между двете тела (А1,2), за произволен брой екрани се състава следната система:

 


В частен случай при равенство на коефициентите:

 


За приведената излъчвателна способност :


Температурата на отделните екрани се намира от системата уравнения:

 


Където q(1,2)e e всяка следваща намерена величина.

 

 

Physical Process Modeling BG