Physical Process Modeling BG

 

Метод на граничните елементи

 

Същноста на метода се състои в преобразуване на диференциално уравнение, описващо поведението на неизвестната функция ,,u’’ вътре и на границата на разглежданата област, в интегрално уравнение, определящо само граничните стойности, и след това намиране на численото решение на това уравнение.

Ако трябва да се намери стойността на ,,u’’  във вътрешните точки на областта се използват известните решения на границата. Тъй като решението се основава на приближени числени пресмятания, свързани само с границите на областта, размерността на получената система уравнения се намалява с единица спрямо изходната система диференциални уравнения.

 

I случай - Решаване на уравнението на Лаплас

 

,

 

С граничните условия от типа на Дирихле:

,

 

,

 

където n  е външна единична нормала към повърхноста Г,    и    - зададени стойности на функцията и нейната производна по нормалата на границата

 

 

Функцията ,,u’’ се нарича хармонична в областа , ограничена от затворената повърхност Г, ако тя е :

·                    непрекъсната в областа  и на границата Г;

·                    има в областта  поне втора производна;

·                    удовлетворява уравнението на Лаплас в областта .

 

Произволна хармонична функция може да се представи като някакво разпределение на потенциал, и обратно всеки потенциал е хармонична функция.

Ако трябва де се намери приближено решение на уравнение (1.12.) грешката може да се сведе до минимум, при използване на следното съотношение:

 

 

където  е тегловна функция

 

 

- точка от пространството, в която е разположен източник на полето.

x – произволна точка от пространството.

След двукратно интегриране по части и приемането, че точка  е на границата се получава следното гранично интегрално уравнение:

 

 

Уравнението отчита  функционалната връзка между функциите ,,u’’ и  ,,q’’  на границата Г.

Функция 

 

 

т.е  е равна на вътрешния ъгъл н аграницата в точка :

 

Двумерна област, допълнена с област Г

 

Задачата може да се сведе  до система алгебрични уравнения чрез следните етапи:

I етап – Границата Г се разбива на елементи, в които се предполага, че потенциалът и неговата производна по нормалата се изменят в съответствие с избраните интерполиращи функции. Тези елементи могат да се образуват с помощта на прави линии, параболи, дъги от окръжност и др.;

II етап – Използва се метод, съгласно който за отделните възлови точки, разпределени вътре във всеки елемент се записва дискретна форма на уравнението, свързващо потенциала с неговата производна във всеки възел;

III етап – Интегралите по всеки елемент се изчисляват с помощта на една от схемите за числено интегриране;

IV етап – Чрез задаване на конкретни ГУ се получава система линейни алгебрични уравнения, решението на които може да се изпълни с преки или интеграционни методи. В резултат се получават стойностите на неизвестната функция на границата.

 

II случай – Решаване на задачи в двумерното пространство

 

Интегралното уравнение (1.16.) може да се представи в дискретна форма  като се запише за определен брой елементи

 

Двумерна област, границата на която се разбива на гранични елементи.

 

За случая на постоянните елементи границата се разбива на  N елементи, от които  елемента се задават на част  от границата,  на част . Стойностите на функциите ,,q’’ и  ,,u’’ се приемат за константни в областа на всеки елемент и равни на техните стойности във възела на елемента. Предполага се, че за всеки елемент е известна стойноста на една от двете (,,q’’ или ,,u’’)  неизвестни .

 

 

За двумерен случай:

 

 

За тримерни задачи :

 

,

Дискретната форма приема вида:

 

 

За постоянните елементи .

 

Уравнението представя, в дискретна форма, връзката между възел i, в който се задава фундаментално решение, и всеки  j – ти елемент (включително и елемент i = j ) на границата:

 

Връзка между възел и елемент

 

 

Функциите ,,q’’ и  ,,u’’ са константни в областа на всеки елемент и затова могат да се изнесат от интеграла:

 

 

Интегралите установяват връзка между i - тия възел с j – тия елемент и се бележат   .

Аналогично интегралите от вида  се бележат с . Тогава :

 

 

Уравнението може да се запише за всеки елемент. Въвежда се обозначението:

 

 

 

Тогава се записва:

 

 

Пълната система уравнения може също да се представи и в матрична форма:

 

HU =GQ

 

На границата Г са известни   стойности на функцията ,,u’’ и  стойности на функцията ,,q’’. Уравнението представлява система от N  неизвестни и може да се преобразува като:

 

A.Y = F

 

където Y е вектор, компонентите на който са неизвестните стойности на функции ,,u’’ и  ,,q’’.

Матрицата A е от порядъка N и няма нулеви елементи.

След решаване на последното се получават всички стойности на потенциала и потока на границата. С тях могат да се получат стойностите на ,,u’’ и ,,q’’ в произволна вътрешна точка с помощта на :

 

 

В дискретен вид :

 

 

Стойностите на вътрешните потоци могат да се получат чрез диференциране на (1.28.):

 

 

 

където  са координати; i = 1, 2 за двумерна област и i = 1, 2, 3 за тримерни случаи.

Интегралите  и  се изчисляват по следния начин:

 

 

където  е дължина на елемента;  - тегловен коефициент,  съответстващ на точка К при числено интегриране. В тази точка трябва да се пресметнат ,,u’’ и ,,q’’. Дължината на елемента  се дели на 2, тъй като при численото интегриране обикновено се използват стойности от –1 до +1 с ,,тегло’’2. За получаване на нужната точност в двумерната задачa е достатъчно да се вземат четири точки.

 

III случай – Решаване на уравнение на Поасон

 

Ако се предположи, че вътре в областта  е поместен източник, например вътрешен топлинен източник – в топлинните задачи, решението се търси с помоща на уравнението  на Поасон :

 

 

  в областа  , където  b  е известна функция.

Ако функцията b е зададена само в отделни точки към лявата част на (1.16.) трябва да се прибави :

 

 

 

При двукратно интегриране по части и изчисляване на интегралите на границата се получава:

 

 

За числено интегриране може да се запише:

 

 

където  е тегловен коефициент; -трябва да се задава в К точки на интегриране;  - брой на клетките, на които е разбита област ;  - площ на всяка клетка.

 се определя за всяко значение на фундаменталното решение, зададено в i-тия възел.

Пълната система уравнения за  N възли може да се представи в матрична форма:

 

B + H.U = G.Q

 

На границата са известни  стойности на ,,u’’ и    на  ,,q’’. Последното уравнение може да се преобразува, като :

 

A.Y = F

 

Числено интегриране по клетки или по участъци

 

След като се намерят ,,u’’ и ,,q’’ на цялата граница, може да се изчисли и в произволна вътрешна точка:

 

 

Друг начин за отчитане на вътрешните източници при формулировката на задачата е посредством преобразуване на интеграла в еквивалентни гранични интеграли в тези случаи, когато функция  b е хармонична в областа  т.е. изпълнено е :

 

 

Ако се намери функцията  , такава че , то може да се запише втората формула на Грин във вида:

 

 

Следва:

 

Функцията  може да бъде:

 

 

Тогава:

 =

 

В случаите, когато може да се приеме,че вътрешните източници са съсредоточени във вътрешна точка l , функцията b  е :

 

 

Където  е делта - функция на Дирак

Уравнение (1.45.) може да се обобщи за случая на няколко съсредоточени източници:

 

 

Този начин на отчитане на  вътрешните източници е много удобен, защото не изисква специални начини на  интегриране.

 

Предложените методи за анализ на електротехнически устройства и процеси се характеризират с голяма точност и прецизност, но сложен математичен апарат и сериозна програмна обезпеченост. Решаването на топлофизични задачи изисква познаване както на методите за моделиране, така и на възможностите на различни програмни среди. Един от сложните въпроси при моделиране е съвместяване на няколко полета. Такъв е случая с електротермичните процеси, където задачата се определя като мултифизична.

 

 

 

Physical Process Modeling BG