Physical Process Modeling BG

 

Математически апарат на процеса на топлопренасяне.

 

 

Кондуктивен топлообмен.

 

Топлопроводност-Определя се от топлинното движение на микрочастиците в телата. Това е процес на разпространение на топлината между частите на едно тяло имащи различна температура. Съставните частици на по – нагрятата част на тялото, в резултат на хаотичното си движение, се сблъскват с обкръжаващите ги частици и им предават кинетичната си енергия. Топлопроводимостта се описва със закона на Фурие, съгласно които количеството топлина dQ, преминаваща през елементарен участък с площ dS за малък интервал от време dt е пропорционално на dS и производната на температурата по отношение на нормалата към елементарен участък. Това се описва с уравнението:

 

,

 

където λ е коефициент на топлопроводност на средата. Този коефициент е физичен параметър , характеризиращ способността на дадено вещество да провежда топлина.

За да се опише сложният процес на пренасяне на топлината във веществена среда се използват диференциалните уравнения на непрекъснатост,движение, енергия и други.

За извеждане на диференциалното уравнение на топлопренасяне се разглежда еднородно тяло, температурата в което представлява функция на координатите x,y,z  и времето t:

 

Т = T(x,y,z,t)

 

В най-общия случай се приема, че в тялото съществува източник на топлина с мощност Q(x,y,z,t)

Тогава в елементарен обем ,за време dt се отделя следното количество топлина:

 

 

Част от нея () се изразходва за повишаване на температурата на елемента , а останалата -  се отделя в обкръжаващата го среда. Всъщност количеството топлина,необходимо за повишаване на температурата на безкрайно малък елемент  от T(t) до Т(t+dt) e:

 

 

Където: ‘c’ е специфична топлоемкост на тялото,ρ-плътност на тялото. Като се интегрира горното равенство по обема се получава:

 

 

За да се определи  се приема, че за 1s през повърхността на , ограничаваща обема ,преминава количество топлина:

 

 или

 

Следователно:

 

 

Според теоремата на Остроградски-Гаус:

 

 

Тогава:

 

 

или:

 

;

 

Следователно уравнението за разпространение на топлината добива вида:

 

 

Конвективен топлообмен.

 

Конвекция – топлопредаване на течност или газ, при което съставящите отделните частици и отделните елементи в обема на веществото, пренасящи съответстващият им запас от топлинна енергия. Процесът на топлина е свързан с пренос на маса от веществото се нарича конвективен топлообмен, който може да бъде естествен или принуден .

Всички тела участващи в ел. термичният процес или влизащи в структурата на електротермичните устройства, обменят топлина с обкръжаващата среда. Това може да бъде топлообмен при естествена конвекция ( когато устройствата отдават топлина в околната среда )  или при принудителна конвекция ( когато твърдото тяло обменя топлина с течности и газове, които се движат принудително от помпи вентилатори и др) . Конвекцията се описва основно със закона на Нютон – Рихман, като плътността на топлинният поток се оказва пропорционална на разликата между температурата на повърхността на тялото  и обкръжаващата среда.

 

:

 

a – коефициент на топлопровеждане

T0 температура на околната среда

TSтемпература на повърхността на тялото

С помощта на диференциални уравнения конвективния топлообмен се свежда до:

 

,

 

Където aк е коефициент на конвекция, l е определящия размер (дължина на стената, диаметър на тръбата и др.) и lср. е  топлопроводимостта на средата .

Числото на Грасхоф отразява:

 

 

b - температурния коефициент на линейно разширяване на средата.

n - кинематическата вискозност на средата.

g – ускорение при свободно падане.

Dt = tср. – tст. – температурен пад.

Pe – Число на Пекле.

 

 

w - скорост на движение на средата.

aср. – коефициент на температуропроводимост.

 

Число на Рейнолдс изразява хидродинамическото подобие на процесите:

 

 

Число на Прандел отразява физическите свойства на средата:

 

 

При естествена конвекция:

 

 

За газове (във частност за въздуха) т.е при Pr = idem.:

 

 

Числото на Прандел за голяма част от газовете се променя малко в зависимост от промяната на температурата. При по нататъшния разчет на конвективния топлообмен могат да се използват следните данни от таблица:

 

Атомност на газа

1

2

3

4

Pr

0,67

0,72

0,8

1

 

За газове с еднакви атомни числа:

 

 

Топлообмен при естествена конвекция

 

За топлообмена между тела с вертикални цилиндрични или плоски повърхности за всяка среда при ламинарен режим на движение, в диапазона

103 < (GrPr)ср < 109:

 

 

За турбулентен режим на движение при (GrPr)cp > 106

 

 

В качеството си на определящ размер се определя височината на повърхността h, а в качеството на определяща температура при която се избират физическите свойства на средата и се изчисляват стойностите на Gr cp и Pr cp се избира температурата на средата на разстояние от стената на tcp.

Параметър (Pr cp/Pr cp)0,25 отчитат направлението на топлопроводимостта (от твърдото тяло към повърхността или на обратно) и температурния пад на границата между стената и средата.

При топлоотдаване на “хоризонтална тръба” в условия на свободно движение на средата се задава зависимостта:

 

 

За определящ размер се взема диаметъра на тръбата d.

Топлообмена във вътрешността на затворен обем (между пластовете на топлоизолацията) се характеризира със циркулация на газа в средата. Процеса зависи от характера на средата, температурата, разликата между температурите на стените и взаимното им разположение. Описанието на топлообмена на еднородна плоска стена се дава от:

 

Където:

tст1 и tст2 – са температури на горещата и студена стена.

Sпр – дебелина на междината.

lекв = ek.lcp– еквивалентната топлопроводимост на прослойката.

ek – поправъчен коефициент, отразяващ влиянието на конвекцията:

ek = f(GrPR)cp

 

Температурата на средата се дава от:

 

 

Топлопроводимост при принудително движение на средата

 

Конвективният топлообмен при принудено движение на средата, се разглежда в зависимост от физическите и геометрични свойства на средата. Това налага разглеждането на няколко частни случаи:

 

Ламинарно движение на средата (Recp £ 2300)

- Пластина:

при Rrcp >> 0,5, коефициент Nu се получава от уравнение:

 

 

при Рrcp << 1, уравнението за същият коефициент е във вид:

 

 

При кръгъл прав канал (тръба) с дължина l и диаметър D

 

,

 

коефициента на Нуселт се задава с уравнение:

 

 

При , коефициента на Нуселт се задава с приблизителна константна стойност Nu = 3,66

 

-         Плосък прорез с дебелина d и дължина l при

 

 

За коефициента на Нуселт:

 

 

При

 

 

Коефициент Nu е константна стойност: Nu = 7,6

 

Турбулентно движение на средата (Re > 5000)

 

За права тръба с дебелина D и дължина l:

 

 

При което, за коефициента на Нуселт :

 

 

При което, за коефициента на Нуселт:

 

 

За цилиндричен прорез с размери d = D2 – D1:

 

 

за въздуха:

 

 

за среда с Pr << 1:

 

 

При напречно обтичане на една основа:

 

 

Лъчист топлообмен.

 

Лъчение – предаване на топлина в невидимата (инфрачервена) и видимата част на спектъра. Излъчването на топлинна енергия е под формата на електромагнитни вълни с дължина на вълната от 0,4 – 400 mм.

Падащата върху тялото лъчиста енергия Q0 се дели на частично поглъщаща (QA), частично отразена (QR) и частично преминаваща през тялото (QD):

 

 

Величината А изразява поглъщаната енергия:

 

 

Величината R изразява отражателната способност на тялото:

 

 

Величината D изразява способността на тялото да пропуска лъчистия поток:

 

 

При A = D = 0 и R = 1, тялото напълно отразява топлинните лъчи, т.е това е абсолютно бяло тяло. За абсолютно черните тела, поглъщащи напълно топлинната енергия е известно: R = D = 0 и A = 1. При реалните тела винаги A < 1 и R < 1.

Преносният топлинен поток за абсолютно черно тяло при дължина на вълната l (мм.) и температура Т (К) се описва със закона на Планк:

 

 

Константите С1 и С2 се задават:

 

 

 

 

Величината qls се нарича спектрална интензивност на излъчвателя или спектрална плътност.

Пълната енергия на излъчвателя по закона на Стефан – Болцман:

 

 

Величината Cs се нарича константа на Стефан – Болцман:

 

 

Закона на Стефан – Болцман се прилага и за сиви тела при които кривата на Планк е непрекъсната и е подобна на кривата на абсолютно черните тела при еднакви температури. В този случай:

 

 

Величината

 

 

определя коефициента на лъчение на сивите тела. Във всеки диапазон дължината на сивите тела трябва да бъде:

 

 

Топлинния поток на лъчение от елементарната площадка dF по всички направления (в полусфера) се определят от:

 

 

Излъчване определено направление по закона на Ламберт:

 

 

където: j - ъгъл между нормалната площадка и направлението на излъчването, dW - елементарен ъгъл.

Разглеждане топлопренасяне между успоредни стени. Ако температурата T1 на стена 1 е по голяма от стена 2 налице е термичното напрежение q = T1 – T2.

 

 

където Спр е приведен коефициент на лъчение:

 

 

За тела имащи концентрични повърхности:

 

 

Пресмятането е за точка х разположена върху непрозрачна повърхност  със степен на чернота ε, специфично съпротивление ρ, коефициент на лъчение α, и температура Т. При разглеждането се приема, че  тялото е непрозрачно, при което:

 

 

Разпространение на полето при приложено лъчение върху тяло

 

От фигурата се вижда ,че   не е преминало лъчение през тялото. Това е вярно за тела от този вид.

Топлинният поток насочен към x се нарича  поток на облъчване G, а този които излиза от  се нарича на излъчване J.

 

Излъчването е сума от отразеното  и отделено количество топлина:

 

 

Може да се придобие  представа за промяна на температурата при лъчение в тялото като се изчисли разликата между облъчване и излъчване:

 

Q=G-J

 

Използвайки предходните 2 уравнения  може  да се елиминира излъчването и да се получи следният израз за промяна на вътрешната температура в тялото:

 

 

Освен  допускането, че повърхността е непрозрачна, се приема също така, че средата е дифузна – сива, поради което:1-ρ=ε

Замествайки ε в израза за промяна на вътрешната температура на тялото се елиминира отражението от този израз и се получава промяната на температурата от лъчението:

 

 

Този израз показва промяната на граничната температура на лъчението.

Модулът на топлообмена открива два вида лъчист топлообмен: лъчение от повърхност към  обкръжаващата среда и лъчение от повърхност към повърхност.

 

Лъчение от повърхност към  обкръжаващата среда

 

За този вид лъчение се приема:

- обкръжаващата среда спрямо повърхността има константа температура, Tamb.

- обкръжаващата среда има свойствата на черно тяло,  има отделящи и абсорбиращи условия които се равняват на 1, и отражателна способност която  се равнява на 0.

Чрез тези допускания може да докажем че облъчването на повърхността е:

 

 

Крайният резултат за топлообмена лъчение от повърхност към  обкръжаващата среда е:

 

 

Лъчение от повърхност към повърхност

 

За този случаи ситуацията е повече от сложна. В общия случай, облъчването за дадената точка на повърхността се влияе от геометрията на средата, температурите по граничните повърхности  както и температурата на обкръжаващата среда.

Пресмятането за  точка x ,намираща се на  повърхност е показана на следващата фигура. Приема се, че точките на другите повърхности имат локално излъчване, J, докато обкръжаващата среда има константа температура, Tamb:

Облъчването на точка х е сума от топлиният поток на всички точки на повърхноста S и топлиният поток от обкръжаващата среда която минава през повърхността Samb.Топлинният поток идващ от х към х'зависи отоблъчването J, насочен по x. Геометричната проекцията на нормалният вектори  n и n’ е по посока на вектор r:Този поток, който е от обкръжаващата среда зависи от Tamb и съответно от Samb/ Изчислява се  интегралната сума на потоците  на облъчване от всички точки на повърхнината S условно до безкрайност. За облъчването на точка х се получава:

 

Разпространение на полето при облъчване от повърхност към повърхност

 

 

Когато интегралът е по повърхността S; Famb е определящия фактор за обкръжаващата повърхност. За да намерим израза за Famb първо трябва да се намери определящия фактор за S който в зависимостта  е отбелязан като F’. Той  може да се определи от интеграла:

 

 

Тогава се използва факта, че сумата от определящите фактори е равна на 1,

 

 

 

Използваните до сега уравнения важат за 3D случаи.За 2D модели границите на модела са представени като  напречни сечения на безкрайно дълга геометрия  Затова  може да се опрости повърхността, която се използва за интегралите за да се получат уравнения от 3D случая в линейни интеграли в 2D. Тогава за облъчването и обкръжаващия определящ фактор в 2D се получава:

 

 

 

където ограниченият интеграл  означава линеен интеграл вмъкнат в границите на 2D геометрията.

 

Израза за излъчване е:

 

 

За да се елиминира отражателната способност от израз за облъчване се използва:

 

 

Прибавя се  израза за G, при което се получава уравнение за облъчване

 

 

Това е крайното уравнение, което се използва, за да изчисли облъчването J за точка от повърхноста в 3D режим.

За граница участваща в лъчистия топлообмен от повърхност към повърхност модула за топлообмен използва независима променлива J за модел на облъчване.

 

 

Physical Process Modeling BG