Physical Process Modeling BG

 

Метод на крайните елементи

 

През последните години МКЕ се наложи със своята универсалност. Едно от големите му предимства е, че с него могат да се създадат  мощни компютърни програми, които могат да се използват при решаването на широк клас полеви задачи, описващи се със сходни частни диференциални уравнения. С него могат да се изследват полета в хомогенни и нехомогенни, изотропни и анизотропни, линейни и нелинейни среди, могат да се решават задачи в двумерна и тримерни области, както и да се анализират нестационарни задачи. Тези предимства са го превърнали в доминиращ метод, използван в комерсиалните пакети за анализ на полета като COSMOS, COSMOS Desing STAR, ANSYS, QuickField, Maxwell, Flux.

Същноста на метода се състои в избора на специални базисни (координатни) функции , всяка от който има краен носител, т.е. е различна от нула само в неголяма част от цялата област на дефиниране на задачата.Освен това    е полиномна функция, поради което изчисляването и става много просто.

Дискретизацията на вариационна задача посредством методът на крайните елементи включва следните етапи:

 

 I етап- Разбиване на изходната област на подобласти - елементи

За целта се използват прости геометрични фигури

                    триъгълници, правоъгълници – в двумерната област;

                    тетраеди и паралелепипеди – в тримерното пространство;      

                    отрязък – в едномерното пространство;

В резултат на това областите се представят под формата на обединени отделни елементи, съседните от които имат общи точки, страни или граници.

Най - разпространената система на дискретизация при двумерна задача е с използването на триъгълни елементи, като големината и формата им нямат значение. С триъгълни елементи достатъчно точно се апроксимират и криволинейни гранични контури.

Възможно е да се използват и елементи с криволинейни граници.

 

Фиг.1. 4.Примерна дискретизация на област в двумерно пространство

 

 

II етап – Построяване на подходяща, за дадената вариационна задача, допустима функция .

Като такава се използват полиноми, които за всеки елемент на подобласта  са полиноми на определена степен с неизвестни коефициенти, а за цялата област те са непрекъснати, както и в изходната задача.

Еднозначноста на определяне на полинома във всяка област се обуславя от това, че във възловите точки на подобласта се задават фиксирани стойности на полинома.

 

III етап – Формиране и решение на система дискретни (алгебрични) уравнения.

Същноста на метода на крайните елементи, като приблизителен метод за решаване на математични задачи, се състои в замяна на безкрайното функционално пространство, на което принадлежи решението на изходната задача, с ограничени подпространствени допустими функции, включвани в изходното финкционално пространство.При това, в качеството на приблизително решение, на методът на крайните елементи  се приема допустима функция, параметрите на която се определят по вариационен начин или с някакво интегрално тъждество. В резултат на това изходната задача се свежда до система дискретни алгебрични уравнения, решение на която прецставляват търсените параметри (коефициенти) от приблизителното решение.

Тъй като дискретната система включва много уравнения, за решаването й се налага използването на ЕИТ. Независимо от това обаче е необходимо да се избере такава функция, която да изисква удобно и просто решение.

 

IV етап – Оценка на точността на полученото решение- т.е. това е точноста, с която допустимата функция апроксимира търсеното решение на изходната задача. Математичното изследване на метода показва, че крайните полиномни функции, при известна непрекъснатост на търсеното решение, обезпечават много точно решение, ако се въведат достатъчен брой подобласти – елементи или се използва полином от по- висока степен.

Основното предимство на методът на крайните елементи се състои в  гъвкавоста и разнообразието на решетката, стандартните приемания при построение на дискретни задачи за произволни области, простота при отчитането на естествените краеви условия и т.н. Математическият анализ по метода е много прост и е приложим към широк клас изходни задачи.В основата на метода са фундаментални резултати, свързани с изследване на сходимостта и устойчивоста на крайноразностните схеми и обобщени решения. Оценката на грешката на приблизителното решение се получава много просто при леки ограничения.

Методът на крайните елементи се изгражда при използване на принципа на екстремум.

 

Стационарен режим

 

Най-общо уравнението за пренос на топлина в едно електротермично съоръжение в стационарен режим има вида:

 

 

където ,, са  коефициентите на топлопроводност по направления x,y,и z; Q-източник на топлина. В двумерния случай:

 

 

При анализ на електротермичните устройства са възможни следните гранични условия:

 

-гранично условие на Дирихле:

 

Т = ТB(s)

 

Където ТB е известна температура на някои от границите.Тя може да бъде функция  на координатите на точките по границата.

 

-на границата има конвективен топлообмен,т.е.

 

 

-на някои от границите постъпва топлинен поток-q

-граничноо условие на Нойман

 

 

Посоченото основно уравнение с гранични условия има единствено решение. Един от начините за решение се основава на вариационния подход.От вариационното смятане е известно , че за минимизация на функционала:

 

 

е необходимо да се удовлетворява диференциалното уравнение

 

 

с гранични условия

 

 

Минимизирането на функционалa е:

 

 

Ако разглежданата област на изследваното температурно поле се раздели на подобласти наречени елементи , то тогава уравнение (2.9.) се свежда до толкова уравнения , колкото са възлите, т.е.:

 

 

където  са температурите във възлите.

По такъв начин решаването на уравнение (2.1.) се свежда до решаване на система уравнения.

 

Нестационарен режим

 

Математическият модел  на процеса за топлопренасяне  представлява уравнението на топлопроводност, решено при наличие или не на вътрешен топлинен източник и гранични условия, зависещи от вида на устройството. Най-общо уравнението на топлопроводност при наличие на вътрешен източник Q и в условията на нестационарен процес има вида:

 

,  където

 

Т-температура; С-топлинен капацитет (в зависимост от вида на задачата – повърхностен Ср или обемен ); к - топлинна константа; Q - вътрешен топлинен източник

При установен процес температурата не зависи от времето и затова  първата компонента на уравнението не участва.

Ако средата е  анизотропна, k се представя под формата на следния масив:

 

 

При флуиди в уравнението  за топлопренасяне  чрез топлопроводност и конвекция се включват и допълнителни компоненти, отчитащи скоростта на движение на флуида:

 

 

където u е скоростта на флуида.

Това поле може да се опише като математически израз на независима променлива или да се пресметне в COMSOL Multiphysics посредством използване на  приложението на Навие -Стокс  при -изотермичен поток.

При  пренасяне на топлина посредством  топлопроводност и конвекция това уравнение има вида :

 

 

където q вектор за топлинния поток .

Ако топлообмена е само от топлопроводност, q се определя от :

 

 

Physical Process Modeling BG