Physical Process Modeling BG

 

Многостъпкови числени методи

 

При многостъпковите методи намирането на следващата точка става с по – малко пресмятания, но изискват итерации за постигане на по – голяма точност. В голямата си част тези методи се наричат предикторно – коректорни методи. Характерни за многостъпковите методи са някой трудности при организирането на итерациите, но основно предимство са получените оценки за допуснатата грешка заедно с резултатите.

 

Метод на Адамс

 

Екстраполационен метод на Адамс.

 

При решаване на ДУ по метод Рунге-Кута е необходимо да се направят много изчисления за да се определи всяко yi.В случаите,когато дясната част на уравнението представлява сложен аналитичен израз,решаването му по метод Рунге-Кута предизвиква големи трудности.Поради това на практика в тези случаи се използва метода на Адамс,който не изисква многократно преизчисляване на дясната част на ДУ.

 

Постановка на задачата.

 

Да се намери решение на ДУ от вида :

 

,  в интервала [a,b]

 

Същност на метода - интервалът [a,b] се разбива на 'n’ равни подинтервала в точките   (i=0,1,2,…,n)

 

Избира се интервала [] и в него се интегрира ДУ.В резултат на това се получава:

 

 или 

 

За да се намери производната се използва втората интерполационна формула на Нютон (ограничена до трети ред).Или :

 

.

 

 

След заместване в горния израз се получава:

 

 

Замества се v в израза за  като се полага  :

 

 

Полага се:    

 

Тогава за произволна разлика се получава :

 

 

Последното уравнение е точно екстрaполационната формула на Адамс. Решението тогава на ДУ е :

 

 

В началото на изчислителния процес са необходими четири начални стойности: y0, y1, y2, y3 , които могат да се намерят изхождайки от НУ, използвайки някои от известните методи- най-често по метод на Рунге-Кута. Като се знаят тези стойности може да се определи:

 

; ;

 

След това се съставя таблица на разликите на величините q

Същността на метода на Адамс се състои в продължение на диагоналната таблица на разликите. Използват се числата , които са разположени в таблицата по диагонала.

 

 

i

xi

yi

yi

yi’=f(xi,yi)

q=h.yi

qi

2qi

3qi

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

0

x0

y0

 

f(x0,y0)

q0

∆q0

2q0

3q0

1

x1

y1

 

f(x1,y1)

q1

∆q1

2q1

3q1

2

x2

y2

 

f(x2,y2)

q2

∆q2

2q2

 

3

x3

y3

∆y3

f(x3,y3)

q3

∆q3

 

 

4

x4

y4

∆y4

f(x4,y4)

q4

 

 

 

5

x5

y5

 

 

 

 

 

 

6

x6

y6

 

 

 

 

 

 

 

Получената стойност  се записва в таблицата и се определя . След това, използвайки и намерената стойност се определя , т.е.се получава новия диагонал.По тези данни се определя:

 

 

По такъв начин , продължавайки таблицата  на решенията, дясната част на ДУ на всеки етап се изчислява само веднъж.

 

Оценка на грешката на метода – за груба оценка на грешката се използва принципа на Рунге, който включва :

 

- намира се решението на ДУ при стъпка  

- удвоява се стъпката h и се намира решение на ДУ при стъпка H=2h.

- изчислява се грешката на метода по :

 

 

 - стойността на приблизителното решение при стъпка , a  е приблизителното решение при стъпка .

 

Забележка: При изчисляване със стъпка  се предполага, че на всяка стъпка се допуска грешка, пропорционална на  , със стъпка  - пропорционална ,ако порядъка на точността на метода е определен и равен на  .

Характерно е ,че в екстраполационната формула на Адамс третите крайни разлики  се приемат за постоянни.Поради това началната стъпка  може да се определи от неравенството , където  е зададената точност при решаване.

На практика , следейки третите крайни разлики,  се избира така , че следните разлики  и  да се различават помежду си с не повече от 1,2 единици от зададения разряд.

 

Приложимост на метода – използва се  и за решаване на система ДУ и ДУ от ‘n’-ти ред. При зададена система от 2 ДУ :

 

,

 

екстраполационната формула на Адамс ще има вида :

 

,

 

където:

 

  

 

       

 

Метод на Милн

 

Методът на Милн, както и този на Рунге-Кута са методи с повишена точност.

В интервала [a,b] трябва да се намери числено решение на ДУ:

 

 при следното НУ: ако ,

Същност на метода – интервалът [a,b] се разбива на   равни части с точките   (i=0,1,2,…,n) , където  -стъпка.

 

Като се използват началните данни , се намират по произволен начин: .По такъв начин вече са известни  (i=0,1,2,3)

Приближителните стойности  и  за следващите  се определят последователно по формулите на Милн:

 

,  където

 

За извеждането на тези формули се използва първата интерполационна формула на Нютон  за производната  в произволно избрана точка ().При това става ограничаване  от разликите от IIIти ред или това е равносилно на това, че  интеграла на ДУ се апроксимира с многочлен от IVа степен.

 

 

Разкриват се скобите и се получава:

 

  ,

където:

 

 

Полага се в горното съотношение к=i-4 и се получава :

 

 

Интегрира се горното равенство по  в интервала  или:

 

 

Като се отчете,че  и  то:

 

 

,  , .

 

Като се заместят тези изрази в горната зависимост се получава:

 

 

За извеждане на втората формула на Милн се полага к=i-2.

 

,

 

където:

 

,

 

Интегрира се горното равенство по  в границите  или:

 

 

Като се отчете,че , то се получава  втората  формула на Милн:

 

 

Оценка на грешката на метода:

Може да се докаже, че абсолютната грешка на стойността  приблизително е :

 

 

Поради това ако  то може да се положи  и  като  зададената гранична грешка на решението.Това има смисъл само ако  и  съвпадат с десетичните знаци,които са взети под внимание в пресмятането.Ако горното условие се удовлетворява, то се преминава към изчисляване на следващата стойност , като се повтаря процеса.В противен случай стъпката  се намалява.

Големината на началната стъпка се определя както по метода Рунге Кута:

 

 

Приложимост на метода

 

При решаване на системата ДУ:

 

 при НУ , ,

 

Формулите на Милн добиват вида:

 

 

 

като

 

,

 

като

 

 

 

Physical Process Modeling BG